логические задачи

1. Внеклассная работа по математике

Рейтинг
235

Внеклассная работа по математике

Рейтинг статьи: 3.7 из 5 на основе 64 оценок.

ПЯТЬ ПРОСТЫХ ШАГОВ НА ПУТИ ПОИСКА РЕШЕНИЯ логических задач:

• Всегда делайте таблицу, в ней вы сможете учитывать все возможные варианты.
• Внимательно читайте каждое утверждение. По-настоящему внимательно. Конечно каждое утверждение содержит что-то такое, что позволит вам опровергнуть хотя бы один из вариантов.
• Старайтесь найти главное утверждение. В сложных задачах оно может стоять не сначала и даже не на втором месте, но оно обязательно есть. Скорее всего, главным будет третье или четвертое утверждение. Но помните: в логических задачах не существует устоявшихся правил.
• После того как посмотрели все утверждения и вычеркнули те из них, нелепость которых видно невооруженным глазом, сравните оставшиеся между собой и определите связи и противоречия.
• Решение можно найти простым методом последовательных исключений. Только не отступайте, если не можете решить задачу. Как только поймете принцип построения такой задачи, вы начнете "щелкать" их, как орешки. А чем больше будете тренироваться, тем лучше это будет получаться.

ЗАДАЧИ

1. На всемирном фестивале молодежи встретились 6 делегатов. Оказалось, что среди любых трех из них двое могут договориться между собой какой-то языке. Докажите, что тогда найдется 3 делегатов, каждый из которых может объясниться с каждым.

2. Есть 2 груды камней. Игра состоит в том, что каждый из двух игроков по очереди забирает любое количество камней только с одной кучи. Выигрывает тот, кто берет последним. Найти способ игры, который обеспечивает выигрыш тому игроку, который может либо начать игру, или предоставить первый ход своему партнеру.

3. Из картона вырезано 2 правильный восьмиугольник. В вершинах одного из них поставлены по очереди (напротив часовой стрелки) числа от 1 до 8. Можно ли расставить в вершинах второго восьмиугольника те же числа так, чтобы в любом наложении второй фигуры на первую какая-нибудь вершина попадала в вершину с тем же номером.

4. Ежедневно в течение года ученик решал не менее одной задачи каждый день, при этом каждую неделю он решал не более 12 задач. Доказать, что найдется несколько последовательных дней, в которые он решал 20 задач.

5. В школе 740 учеников. Доказать, что трое из них в один и тот же день празднуют свой день рождения.

6. С 61 монеты за 4 взвешивания отделить фальшивую (она тяжелее, чем другие).

7. Каждый из трех друзей сыграл одинаковое количество шахматных партий с другим. При этом выяснилось, что первый из них выиграл наибольшее количество партий, второй проиграл наименьшее количество партий, а третий набрал наибольшее количество очков. Могло так быть? Если нет, то доведите. Если да, то приведите пример.

8. Учитель проверил работы трех учеников - Алексеева, Василенко и Сергиенко, но не принес в класс. Ученикам он сказал: "Один из вас получил" 3 ", второй -" 4 ", а третий -" 5 ". В Сергиенко не« 5 », в Василенко не« 4 », а в Алексеева, кажется," 4 ".

Когда принесли тетради, то оказалось, что учитель только одному ученику сказал правильную оценку, двум другим - неправильное. Какие оценки получили ученики?

9. Есть 5 монет, среди которых одна - фальшивая. Неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Вес действительной монеты - 5 г. Как с помощью двух взвешиваний на весах можно найти фальшивую монету, имея одну гирю весом 5 г?

10. Три разбойника хотят поделить добычу поровну. Каждый из них уверен, что только он разделит добычу на равные части, но другие не имеют доверия к нему. Если бы разбойников было двое, тогда было бы легче выйти из этого положения: один разделил бы добычу на 2 части, а второй взял бы ту часть, которая казалась ему больше. Как должны действовать разбойники, чтобы каждый из них был уверен, что его добыча не меньше третьей части всей добычи?

11. Плитка шоколада состоит из 35 квадратиков (5 июля). Ломают по прямым, которые делят квадратики до тех пор, пока не получат отдельные 35 квадратиков. Сколько раз нужно разделить шоколадку?

12. Какое наибольшее количество слонов можно расположить на шахматной доске, чтобы ни один из слонов не был под двойной дракой?

13. Среди трех монет одна фальшивая (она легче, чем две другие одинакового веса). С помощью одного взвешивания на весах (без гирь) найти фальшивую монету.

14. Трем ученикам в темной комнате надели на голову по черной шапке. Перед ними поставлена ​​задача угадать, кто в какой шапке, если всего шапок 5, причем 2 из них - серые, а 3 - черные. Серые шапки спрятали перед тем, как в комнате зажгли свет. Через некоторое время один ученик отгадал, что он стоит в черной шапке. Как он это сделал?

оТВЕТЫ

1. Пусть делегат А может поговорить с тремя другими делегатами, назовем их В, С, D. Среди последних возможно два также могут найти общий язык между собой, скажем, В и С. Тогда А, В, С - искомая тройка. Если А может поговорить не более, чем с двумя другими делегатами, то найдутся три делегата Е, F, G, ни с одним из которых А не может говорить. Тогда Е, F, G образуют искомую тройку.

2. Каждый раз надо брать камни из той кучи, которая больше, так, чтобы обе кучи становились одинаковыми. Если в начале игры обе кучи содержали равное количество камней, то необходимо предоставить первый ход партнеру.

3. Предположим, что это возможно. Наложим второй восьмиугольник так, чтобы единицы совпадали. Пусть при этом против числа и на верхнем восьмиугольнике на нижнем находится цифра а1 (а1 = 1, 2, ..., 8). Для того, чтобы совместить цифры а1 верхнего и нижнего восьмиугольника, можно вернуть верхний восьмиугольник против часовой стрелки на угол b1 Ч 45 °, где

b1 = и - а1, если и> а1,

и - а1 + 8, если и заборов а1

Докажите, что b1 принимает все значения 1, 2, ..., 8. Составляя b1, получим b1 + b2 + ... + b8 = (1 + 2 + ... + 8) - (а1 + а2 + .. . + а8) + 8К,

где К - какое-нибудь целое число. Но а1 + а2 + ... + а8 = b1 + b2 + ... + b8 = 1 + 2 + ... + 8 = 36

А 36 не делится на 8, то приходим к противоречию.

4. Будем считать, что год состоит из 52 недель. За это время ученик решил не более 624 задач. Обозначим через а1 количество задач, решенных в первый день, через а2 - количество задач, решенных за два дня; А3 - количество задач, решенных за три дня и т. д. Каждое из чисел а1, а2, а3, ... а364. Не более, чем 52 Ч 12 = 624. Все эти числа различны. Рассмотрим также 364 таких числа: а1 + 20 а2 + 20 А3 + 20 ..., а364 + 20.

Среди этих чисел нет ни одной пары одинаковых, каждый из них меньше 644.

Значит, среди 728 целых положительных чисел, каждое из которых меньше 644, найдется больше, чем одна пара равных. Пусть ак = а1 + 20, тогда ак - а1 = 20 А это значит, что за время между "к-тем" и "и-тем" на днях ученик решил ровно 200 задач. Кстати, в течение года будет 84 таких промежутков времени, когда ученик решал по 20 задач.

В этой задаче достаточно ограничиться время значительно меньше, чем год. Аналогично можно показать, например, что в течение 77 дней также найдется несколько последовательных дней, когда ученик решал ровно 20 задач.

5. Если бы каждый день два ученика праздновали свой день рождения, то в школе было бы 732 ученика.

6. Разделим монеты на 3 группы: 21, 21 и 19. На весы положим первые 2 группы по 21 монете, а третью группу из 19 монет отложим. При этом возможны два случая: чаши весов уравновешены и неуравновешенные. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) Чаши уравновешены, следовательно, тяжелее (фальшивая) монета находится среди 19 отложенных. Разделим эти 19 монет на 3 группы (7, 7 и 5) и сравним на весах вес первых двух групп (это будет второе взвешивание). Опять может получиться, что:

а) весы уравновешены; б) весы неуравновешенные.

В случае а) фальшивая монета среди 5 отложенных. Из них во время следующих двух взвешиваний сначала сравним 2 и 2 монеты, откладывая пятку. Если пятка не фальшивая, тогда взвесим две монеты по той чаше весов, что перетянула.

Если весы неуравновешенные (случай б), тогда фальшивая монета находится среди 7 монет. Разделим эту группу на 3, 3 и 1 монету и положим на весы по 3 монеты и т. Д. И в этом случае для решения необходимо 2 взвешивания - не более.

2) Чаши с монетами (на каждой по 21) неуравновешенные. Откладываем 7 монет. Это будет второе взвешивание. Итак, и в этом случае нужно четыре взвешивания.

В том случае, когда с условия не следует вес предмета (легче он или тяжелее остальных), для его обнаружения требуется, как правило, сделать дополнительное взвешивание. Так, в задачи об обнаружении среди 9 монет одной фальшивой (неизвестно, легче она или тяжелее по сравнению с нынешней) двумя взвешиваниями не обойтись. Придется "перевешивать" монеты трижды.

Иногда в таких задачах несколько меняют, например, введением выделенного числа гирь определенного веса.

7. Так могло произойти. Пусть двое сыграли между собой по 10 партий. При этом первый выиграл у второго 3 партии и второй выиграл у него столько же. У третьего первый победил в 4-х партиях, но проиграл ему 5 партий. Все остальные партии закончились ничьей. Тогда первый, победивший в 7 партиях проиграл 8 и 5 закончил ничьей, будет иметь 9,5 очков, второй, который проиграл 3 партии и победил в 3-х партиях, а в 14 партиях сыграл вничью, будет иметь 16 очков. Третий наберет 11,5 очков, то есть у него 5 побед, 4 поражения и 11 ничьих.

8. Возможны 6 вариантов расположения оценок: АВС, АСВ, ВСА, СВА. Каждая запись означает, что "5" получил первый ученик, "4" - второй, "3" - третий. Из этих записей только первый подходит к условию задачи: в утверждениях учителя одна оценка верна, а две другие - нет. Поэтому Сергиенко получил "3", Василенко - "4", Алексеев - "5".

9. Обозначим монеты А, В, С, D, Е. Положим монеты А и В на одну чашу весов, а монету С с гирей - второго. Если весы уравновешены, тогда фальшивая монета среди отложенных D и Е. Следующим взвешиванием найдем фальшивую и положим на весы гирю и монету D (по равновесия весов - Ну, по неравновесия - D). В одном из этих случаев нельзя установить, легче или тяжелее фальшивая монета, но этого и не требует условие задачи.

Когда весы уравновешены, то нужно рассмотреть 2 случая. Если перевешивает чаша с монетами А и В, тогда фальшивая монета среди трех: А, В (тогда она тяжелее) или С (тогда С легче). Отложенные монеты D и Е - настоящие.

Для второго взвешивания положим на чашу весов монеты А и С, а на вторую - 2 настоящих (или одну настоящую и гирю, что одно и то же), а монету В отложим. Если монеты вривноважаться, то монета В - фальшивая (тяжелее настоящую). Если Весы не вривноважаться и перевесят чашу с монетами А и С, тогда фальшивая А (тяжелая), когда же эта чаша легче, тогда и фальшивая монета С легче.

10. Пусть один из разбойников разделит добычу на 3, по его мнению, равные части. Если при этом другие разбойники выберут себе по одной из частей, то третья часть останется для разбойника, который делил эту добычу. Если двое захотят взять одну и ту же часть, то они поделят на 2 части между собой способом, который описан в условии задачи. Если 2 разбойника, которые получили половину своей части добычи, показывают на различные части, то каждый из них разделит эти части с разбойником, который осуществлял первый распределение.

11. При любом разламывания плитки количество квадратиков увеличивается на 1. Для 35 квадратиков, нужно разломать плитку 34 раза.

12. Слон, который стоит на внутренней клетке доски, держит под угрозой большее количество клеток, чем слон, стоящий на клетке любого крайнего ряда (горизонтального или вертикального). Нужно расположить слонов так, чтобы они угрожали малом количестве клеток, а значит, их нужно поставить на клетки одного из крайних строк. Эти 8 слона будут угрожать шести клеткам противоположного крайнего ряда (в этой строке под угрозой поставленных восьми слонов находятся только две крайние клетки) - на эти шесть клеток и поставим еще по слону на каждую. Итак, 8 + 6 = 14 слонов - это самое большое количество слонов, которую можно разместить на шахматной доске так, чтобы ни один из двух слонов не был под двойной угрозой.

13. Допустим, на чаше весов по одной монете, а третью отложим в сторону. Если чаши находятся в равновесии, то отложена монета и является фальшивой. Во втором случае весы покажут монету, которая легче, то есть фальшивую.

14. Этот ученик думал так: "Да я в серой шапке, тогда мой сосед слева будет видеть меня в серой, а третьего ученика в черной шапке. Тогда как серых шапок только две, то один из моих товарищей должен сразу догадаться, что он в черной шапке. Но он молчит, а потому я не могу быть в серой шапке. Поэтому на мне черная шапка ".

ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

А теперь, приобретя опыт решения задач, вы сможете придумать собственную логическую задачу. Самый простой способ - представьте себе ситуацию с тремя или четырьмя игроками, а затем, чтобы немного усложнить задачу, исключите из него подсказки. Наверное, вы начнете с трех друзей, у каждого из которых дома есть живое существо. С этого места можно придумывать сами. Добавьте больше подробностей, пока не получите настоящую головоломку, а затем откиньте детали могут подсказать решение, оставив ровно столько, чтобы задачу все-таки можно было решить.

Удачи!

Ссылки по теме:

Освита.ua
25.12.2008